Διαφορικό λειτουργίας. Διαφορικά - τι είναι; Πώς να βρείτε το διαφορικό μιας συνάρτησης; Το διαφορικό dy μιας συνάρτησης y f x ονομάζεται

26.01.202427.05.2017

Ορισμός διαφορικού

Θεωρήστε τη συνάρτηση \(y = f\left(x \right),\) που είναι συνεχής στο διάστημα \(\left[ (a,b) \right].\) Ας υποθέσουμε ότι σε κάποιο σημείο \((x_0) \ in \left[ (a,b) \right]\) η ανεξάρτητη μεταβλητή λαμβάνει μια αύξηση \(\Delta x.\) Η αύξηση της συνάρτησης \(\Delta y,\) που αντιστοιχεί σε μια τέτοια αλλαγή στο όρισμα Το \(\Delta x,\) εκφράζεται με τον τύπο \[\Delta y = \Delta f\left(((x_0)) \right) = f\left(((x_0) + \Delta x) \right) - f\left(((x_0)) \right) .\] Για οποιαδήποτε διαφοροποιήσιμη συνάρτηση, η αύξηση \(\Delta y\) μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα δύο όρων: \[\Delta y = A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right),\] όπου ο πρώτος όρος (το λεγόμενο κύριο μέρος προσαύξηση) εξαρτάται γραμμικά από την αύξηση \(\Δέλτα x,\) και ο δεύτερος όρος έχει υψηλότερη τάξη μικρότητας σε σχέση με το \(\Δέλτα x.\) Η έκφραση \(A\Delta x\) ονομάζεται διαφορική λειτουργία και συμβολίζεται με το σύμβολο \(dy\) ή \(df\left(((x_0)) \right).\)

Ας δούμε αυτήν την ιδέα να χωρίσουμε την αύξηση της συνάρτησης \(\Delta y\) σε δύο μέρη χρησιμοποιώντας ένα απλό παράδειγμα. Έστω ένα τετράγωνο με πλευρά \((x_0) = 1 \,\text(m)\,\) (Εικόνα \(1\)). Το εμβαδόν του είναι προφανώς ίσο με \[(S_0) = x_0^2 = 1 \,\text(m)^2.\] Αν η πλευρά του τετραγώνου αυξηθεί κατά \(\Δέλτα x = 1\,\text( cm),\ ) τότε η ακριβής τιμή του εμβαδού του μεγεθυσμένου τετραγώνου θα είναι \ δηλ. η αύξηση της περιοχής \(\Δέλτα S\) ισούται με \[ (\Δέλτα S = S - (S_0) = 1,0201 - 1 = 0,0201\,\κείμενο(m)^2 ) = (201\,\κείμενο( cm )^2.) \] Τώρα φανταστείτε αυτήν την αύξηση \(\Delta S\) με αυτή τη μορφή: \[\require(cancel) (\Delta S = S - (S_0) = (\left(((x_0) + \ Δέλτα x) \δεξιά)^2) - x_0^2 ) = (\ ακύρωση(x_0^2) + 2(x_0)\Δέλτα x + (\αριστερά((\Δέλτα x) \δεξιά)^2) - \ ακύρωση (x_0^2) ) = (2(x_0)\Delta x + (\left((\Delta x) \right)^2) ) = (A\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \ δεξιά) ) = (dy + o\left((\Delta x) \right).) \] Άρα, η αύξηση της συνάρτησης \(\Delta S\) αποτελείται από το κύριο μέρος (διαφορικό συνάρτησης), το οποίο είναι αναλογικό σε \(\Delta x\) και ίσο με \ και έναν όρο υψηλότερης τάξης μικρότητας, με τη σειρά του ίσο με \[\omicron\left((\Delta x) \right) = (\left((\Delta x) \right)^2) = (0,01^2) = 0,0001\,\text(m)^2 = 1\,\text(cm)^2.\] Συνολικά, και οι δύο αυτοί όροι ισοδυναμούν με συνολική αύξηση σε το εμβαδόν του τετραγώνου ίσο με \(200 + 1 = 201\,\κείμενο(cm)^2.\)

Σημειώστε ότι σε αυτό το παράδειγμα ο συντελεστής \(A\) είναι ίσος με την τιμή της παραγώγου της συνάρτησης \(S\) στο σημείο \((x_0):\) \ Αποδεικνύεται ότι για οποιαδήποτε διαφοροποιήσιμη συνάρτηση τα ακόλουθα είναι αλήθεια θεώρημα :

Ο συντελεστής \(A\) του κύριου μέρους της αύξησης της συνάρτησης στο σημείο \((x_0)\) είναι ίσος με την τιμή της παραγώγου \(f"\left(((x_0)) \right) \) σε αυτό το σημείο, δηλαδή η αύξηση \( \Δέλτα y\) εκφράζεται με τον τύπο \[ (\Δέλτα y = A\Δέλτα x + \omicron\left((\Δέλτα x) \δεξιά) ) = (f "\left(((x_0)) \right)\Delta x + \omicron\left((\Delta x) \right).) \] Διαιρώντας και τις δύο πλευρές αυτής της ισότητας με \(\Delta x \ne 0,\ ) έχουμε \[ (\frac((\Delta y))( (\Delta x)) = A + \frac((\omicron\left((\Delta x) \right)))((\Delta x) ) ) = (f"\left(((x_0)) \right ) + \frac((\omicron\left((\Delta x) \right)))((\Delta x)).) \] Στο όριο στο \(\Delta x \to 0\) λαμβάνουμε την τιμή της παραγώγου στο σημείο \((x_0):\) \[ (y"\left(((x_0)) \right) = \lim\ limits_(\Delta x \to 0) \frac((\Delta y))((\Delta x)) ) = (A = f"\left(((x_0)) \right).) \] Εδώ πήραμε λάβετε υπόψη ότι για μια μικρή τιμή \(\omicron\left((\Delta x) \right)\) υψηλότερης τάξης μικρότητας από το \(\Delta x,\) το όριο είναι ίσο με \[\lim\limits_ (\Delta x \to 0) \frac((\omicron\left((\Delta x) \right)))((\Delta x)) = 0.\] Αν υποθέσουμε ότι διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής Το \(dx\) ισούται με την αύξησή του \(\Δέλτα x:\) \ τότε από τη σχέση \ προκύπτει ότι \ δηλ. η παράγωγος μιας συνάρτησης μπορεί να αναπαρασταθεί ως ο λόγος δύο διαφορικών.

Γεωμετρική σημασία της διαφορικής συνάρτησης

Το σχήμα \(2\) δείχνει σχηματικά την κατανομή της αύξησης της συνάρτησης \(\Delta y\) στο κύριο μέρος \(A\Delta x\) (διαφορικό συνάρτησης) και έναν όρο υψηλότερης τάξης μικρότητας \(\ omicron\left((\Delta x )\right)\).

Η εφαπτομένη \(MN\) που σύρεται στην καμπύλη της συνάρτησης \(y = f\left(x \right)\) στο σημείο \(M\), όπως είναι γνωστό, έχει γωνία κλίσης \(\άλφα \), η εφαπτομένη της οποίας είναι ίση με την παράγωγο : \[\tan \alpha = f"\left(((x_0)) \right).\] Όταν το όρισμα αλλάξει σε \(\Delta x\), το Η εφαπτομένη λαμβάνει μια αύξηση \(A\Δέλτα x.\) Αυτή είναι μια γραμμική αύξηση , που σχηματίζεται από την εφαπτομένη, είναι ακριβώς το διαφορικό της συνάρτησης. Το υπόλοιπο της συνολικής αύξησης \(\Δέλτα y\) (τμήμα \(Ν (M_1)\)) αντιστοιχεί σε μια "μη γραμμική" προσθήκη με υψηλότερη τάξη μικρότητας σε σχέση με το \(\Delta x\ ).

Διαφορικές ιδιότητες

Έστω τα \(u\) και \(v\) συναρτήσεις της μεταβλητής \(x\). Το διαφορικό έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:

Ο σταθερός συντελεστής μπορεί να αφαιρεθεί από το διαφορικό πρόσημο:
\(d\left((Cu) \right) = Cdu\), όπου το \(C\) είναι ένας σταθερός αριθμός.
Διαφορικό του αθροίσματος (διαφορά) των συναρτήσεων:
\(d\left((u \pm v) \right) = du \pm dv.\)
Το διαφορικό μιας σταθερής τιμής είναι μηδέν:
\(d\αριστερά(C \δεξιά) = 0.\)
Το διαφορικό της ανεξάρτητης μεταβλητής \(x\) είναι ίσο με την προσαύξησή της:
\(dx = \Delta x.\)
Το διαφορικό μιας γραμμικής συνάρτησης ισούται με την αύξησή της:
\(d\left((ax + b) \right) = \Delta \left((ax + b) \right) = a\Delta x.\)
Διαφορά του γινομένου δύο συναρτήσεων:
\(d\left((uv) \right) = du \cdot v + u \cdot dv.\)
Διαφορικό του πηλίκου δύο συναρτήσεων:
\(d\left((\large\frac(u)(v)\normalsize) \right) = \large\frac((du \cdot v - u \cdot dv))(((v^2))) \κανονικό μέγεθος.\)
Το διαφορικό μιας συνάρτησης ισούται με το γινόμενο της παραγώγου και το διαφορικό του ορίσματος:
\(dy = df\left(x \right) = f"\left(x \right)dx.\)

Όπως μπορείτε να δείτε, το διαφορικό της συνάρτησης \(dy\) διαφέρει από την παράγωγο μόνο κατά τον παράγοντα \(dx\). Για παράδειγμα, \[ (d\left(((x^n)) \right) = n(x^(n - 1))dx,)\;\; (d\left((\ln x) \right) = \frac((dx))(x),)\;\; (d\left((\sin x) \right) = \cos x dx) \] και ούτω καθεξής.

Αμετάβλητο διαφορικό σχήμα

Ας εξετάσουμε τη σύνθεση δύο συναρτήσεων \(y = f\left(u \right)\) και \(u = g\left(x \right),\) δηλ. σύνθετη συνάρτηση \(y = f\left((g\left(x \right)) \right).\) Η παράγωγός της καθορίζεται από την έκφραση \[(y"_x) = (y"_u) \cdot (u "_x) ,\] όπου ο δείκτης υποδηλώνει τη μεταβλητή με την οποία εκτελείται η διαφοροποίηση.

Το διαφορικό της "εξωτερικής" συνάρτησης \(y = f\left(u \right)\) γράφεται με τη μορφή \ Το διαφορικό της "εσωτερικής" συνάρτησης \(u = g\left(x \right)\) μπορεί να αναπαρασταθεί με παρόμοιο τρόπο: \ Αν αντικαταστήσουμε το \(du\) στον προηγούμενο τύπο, παίρνουμε \ Επειδή \((y"_x) = (y"_u) \cdot (u"_x),\) τότε \ Μπορεί να φανεί ότι στην περίπτωση μιας σύνθετης συνάρτησης έχουμε την ίδια μορφή την έκφραση για το διαφορικό μιας συνάρτησης, όπως στην περίπτωση μιας "απλής" συνάρτησης. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αμετάβλητο της διαφορικής μορφής .

Εφαρμογή

Επίλυση διαφορικών εξισώσεων διαδικτυακά στον ιστότοπο για τους μαθητές να εμπεδώσουν την ύλη που κάλυψαν. Και εκπαιδεύστε τις πρακτικές σας δεξιότητες. Διαφορικές εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Difurs online, επίλυση μαθηματικών στο διαδίκτυο. Βήμα προς βήμα λύσεις σε μαθηματικά προβλήματα στο διαδίκτυο. Η τάξη, ή ο βαθμός, μιας διαφορικής εξίσωσης είναι η υψηλότερη τάξη των παραγώγων που περιλαμβάνονται σε αυτήν. Διαφορικές εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Η διαδικασία επίλυσης μιας διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται ολοκλήρωση. Το πρόβλημα της ολοκλήρωσης μιας διαφορικής εξίσωσης θεωρείται λυμένο εάν η εύρεση μιας άγνωστης συνάρτησης μπορεί να οδηγηθεί σε τετραγωνισμό, ανεξάρτητα από το αν το ολοκλήρωμα που προκύπτει εκφράζεται σε τελική μορφή με όρους γνωστών συναρτήσεων ή όχι. Βήμα προς βήμα επίλυση διαφορικών εξισώσεων διαδικτυακά. Όλες οι διαφορικές εξισώσεις μπορούν να χωριστούν σε συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις (ODE), οι οποίες περιλαμβάνουν μόνο συναρτήσεις (και τις παράγωγές τους) ενός ορίσματος και μερικές διαφορικές εξισώσεις (PDE), στις οποίες οι συναρτήσεις εισόδου εξαρτώνται από πολλές μεταβλητές. Διαφορικές εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Υπάρχουν επίσης στοχαστικές διαφορικές εξισώσεις (SDEs) που περιλαμβάνουν τυχαίες διαδικασίες. Βήμα προς βήμα επίλυση διαφορικών εξισώσεων διαδικτυακά. Ανάλογα με τους συνδυασμούς παραγώγων, συναρτήσεων και ανεξάρτητων μεταβλητών, οι διαφορικές εξισώσεις χωρίζονται σε γραμμικές και μη γραμμικές, με σταθερούς ή μεταβλητούς συντελεστές, ομοιογενείς ή ανομοιογενείς. Λόγω της σημασίας των εφαρμογών, οι οιονεί γραμμικές (γραμμικές ως προς τις υψηλότερες παραγώγους) μερικές διαφορικές εξισώσεις ταξινομούνται σε ξεχωριστή κατηγορία. Οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων χωρίζονται σε γενικές και ειδικές λύσεις. Διαφορικές εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Οι γενικές λύσεις περιλαμβάνουν απροσδιόριστες σταθερές και για μερικές διαφορικές εξισώσεις, αυθαίρετες συναρτήσεις ανεξάρτητων μεταβλητών, οι οποίες μπορούν να βελτιωθούν από πρόσθετες συνθήκες ολοκλήρωσης (αρχικές συνθήκες για συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις, αρχικές και οριακές συνθήκες για μερικές διαφορικές εξισώσεις). Βήμα προς βήμα επίλυση διαφορικών εξισώσεων διαδικτυακά. Μετά τον προσδιορισμό του τύπου των υποδεικνυόμενων σταθερών και αόριστων συναρτήσεων, οι λύσεις γίνονται συγκεκριμένες. Η αναζήτηση λύσεων σε συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις οδήγησε στην καθιέρωση μιας κατηγορίας ειδικών συναρτήσεων - συναρτήσεων που συναντώνται συχνά σε εφαρμογές που δεν μπορούν να εκφραστούν μέσω γνωστών στοιχειωδών συναρτήσεων. Διαφορικές εξισώσεις σε απευθείας σύνδεση. Μελετήθηκαν λεπτομερώς οι ιδιότητές τους, συντάχθηκαν πίνακες τιμών, καθορίστηκαν αμοιβαίες σχέσεις κ.λπ. . Το σύνολο των απαριθμημένων αριθμών μπορεί να εξερευνηθεί. Η καλύτερη απάντηση στο δεδομένο πρόβλημα. Πώς να βρείτε, ως πρώτη προσέγγιση, το εξερχόμενο διάνυσμα στην περιοχή σύγκλισης για τις Διαφορικές εξισώσεις χωρίς να βρείτε το ανώτατο όριο που βρέθηκε. Η επιλογή είναι προφανής για την αύξηση των μαθηματικών συναρτήσεων. Υπάρχει μια προοδευτική μέθοδος πάνω από το ερευνητικό επίπεδο. Η ευθυγράμμιση της αρχικής συνθήκης του προβλήματος με την επίλυση διαφορικών εξισώσεων θα σας βοηθήσει να βρείτε μια μοναδικά επιλεγμένη τιμή. Μπορεί να μπορεί να αναγνωρίσει αμέσως το άγνωστο. Όπως στο προηγούμενο παράδειγμα προσδιορισμού μιας λύσης σε ένα μαθηματικό πρόβλημα, οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις είναι η απάντηση σε ένα συγκεκριμένο πρόβλημα μέσα σε ένα καθορισμένο χρονικό πλαίσιο. Η διατήρηση της ερευνητικής διαδικασίας δεν καθορίζεται τοπικά. Θα είναι ότι θα βρεθεί ένα παράδειγμα για κάθε μαθητή και η λύση των διαφορικών εξισώσεων θα καθοριστεί από το άτομο που θα ανατεθεί στον υπεύθυνο από τουλάχιστον δύο τιμές. Πάρτε μια συνάρτηση γενικής τιμής σε ένα συγκεκριμένο τμήμα και προειδοποιήστε κατά μήκος ποιου άξονα θα υπάρχει κενό. Μελετώντας τις διαφορικές εξισώσεις στο Διαδίκτυο, είναι δυνατό να δείξουμε με σαφήνεια πόσο σημαντικό είναι το αποτέλεσμα, εάν αυτό προβλέπεται από τις αρχικές συνθήκες. Η αποκοπή μιας περιοχής από έναν ορισμό συνάρτησης είναι αδύνατη, καθώς δεν υπάρχει ορισμός για την εργασία τοπικά. Καθώς βρίσκεται από ένα σύστημα εξισώσεων, η απάντηση περιέχει μια μεταβλητή που είναι μετρήσιμη με τη γενική έννοια, αλλά η επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης στο διαδίκτυο θα είναι φυσικά δυνατή χωρίς αυτήν την ενέργεια του προσδιορισμού της εν λόγω συνθήκης. Δίπλα στο διάστημα του τμήματος μπορείτε να δείτε πώς η επίλυση διαφορικών εξισώσεων στο διαδίκτυο μπορεί να προωθήσει το αποτέλεσμα της έρευνας σε θετική κατεύθυνση τη στιγμή της αποκοπής των γνώσεων των μαθητών. Το καλύτερο δεν προέρχεται πάντα από μια γενικά αποδεκτή προσέγγιση των επιχειρήσεων. Σε επίπεδο 2x, είναι χρήσιμο να επανεξεταστούν όλες οι απαραίτητες γραμμικές διαφορικές εξισώσεις σε μια φυσική αναπαράσταση, αλλά η δυνατότητα υπολογισμού της αριθμητικής τιμής θα οδηγήσει σε βελτιωμένη γνώση. Σύμφωνα με οποιαδήποτε μέθοδο στα μαθηματικά, υπάρχουν διαφορικές εξισώσεις που παρουσιάζονται με ουσιαστικά διαφορετικές εκφράσεις, όπως ομοιογενείς ή μιγαδικές. Έχοντας πραγματοποιήσει μια γενική ανάλυση της μελέτης της συνάρτησης, γίνεται σαφές ότι η επίλυση διαφορών ως σύνολο δυνατοτήτων αντιπροσωπεύει ένα σαφές σφάλμα στις τιμές. Η αλήθεια σε αυτό βρίσκεται στο χώρο πάνω από τις γραμμές της τετμημένης. Κάπου στο πεδίο ορισμού μιας μιγαδικής συνάρτησης, σε κάποιο σημείο του ορισμού της, οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις θα μπορούν να παρουσιάσουν την απάντηση σε αναλυτική μορφή. δηλαδή σε γενικές γραμμές ως ουσία. Δεν αλλάζει τίποτα όταν αλλάζετε τη μεταβλητή. Ωστόσο, πρέπει να δείτε την απάντηση με ιδιαίτερο ενδιαφέρον. Ουσιαστικά, η αριθμομηχανή αλλάζει τη σχέση στο τέλος, δηλαδή πώς η λύση των διαφορικών εξισώσεων είναι ανάλογη της συνολικής τιμής και ορίζεται εντός των ορίων της επιθυμητής λύσης. Σε ορισμένες περιπτώσεις, μια μαζική προειδοποίηση σφάλματος είναι αναπόφευκτη. Οι διαδικτυακές διαφορικές εξισώσεις υλοποιούν μια γενική ιδέα του προβλήματος, αλλά τελικά είναι απαραίτητο να προβλεφθούν οι θετικές πτυχές του διανυσματικού προϊόντος το συντομότερο δυνατό. Στα μαθηματικά, οι περιπτώσεις παρανοήσεων στη θεωρία αριθμών δεν είναι ασυνήθιστες. Σίγουρα θα χρειαστεί έλεγχος. Φυσικά, είναι καλύτερο να δώσετε αυτό το δικαίωμα σε επαγγελματίες του κλάδου τους και θα σας βοηθήσουν να λύσετε τη διαφορική εξίσωση διαδικτυακά, αφού η εμπειρία τους είναι κολοσσιαία και θετική. Η διαφορά στις επιφάνειες των σχημάτων και στην περιοχή είναι τέτοια που δεν λύνει διαφορικές εξισώσεις στο διαδίκτυο που θα σας επιτρέψει να δείτε, αλλά το σύνολο των μη τεμνόμενων αντικειμένων είναι τέτοιο ώστε η γραμμή να είναι παράλληλη προς τον άξονα. Ως αποτέλεσμα, μπορείτε να πάρετε διπλάσιες τιμές. Αν και δεν είναι σαφής, η κατανόησή μας για την ορθότητα της επίσημης σημειογραφίας περιλαμβάνει γραμμικές διαφορικές εξισώσεις τόσο στην περιοχή προβολής όσο και σε σχέση με τη σκόπιμη υπερεκτίμηση της ποιότητας του αποτελέσματος. Μια συζήτηση σε πάνελ για ένα θέμα που ενδιαφέρει όλους τους μαθητές εξετάζεται πολλές φορές. Καθ' όλη τη διάρκεια της μελέτης του πλήρους κύκλου των διαλέξεων, θα εστιάσουμε την προσοχή μας στις διαφορικές εξισώσεις και σε συναφείς τομείς επιστημονικής μελέτης, εάν αυτό δεν έρχεται σε αντίθεση με την αλήθεια. Πολλά βήματα μπορούν να αποφευχθούν στην αρχή του ταξιδιού. Εάν η επίλυση διαφορικών εξισώσεων εξακολουθεί να είναι θεμελιωδώς κάτι νέο για τους μαθητές, τότε το παλιό δεν ξεχνιέται καθόλου, αλλά προχωρά στο μέλλον με υψηλό ρυθμό ανάπτυξης. Αρχικά, οι συνθήκες για το πρόβλημα στα μαθηματικά διαφέρουν, αλλά αυτό υποδεικνύεται στην παράγραφο στα δεξιά. Μετά την παρέλευση του χρόνου που καθορίζεται εξ ορισμού, δεν μπορεί να αποκλειστεί η πιθανότητα ενός αναλογικού εξαρτημένου αποτελέσματος σε διάφορα επίπεδα διανυσματικής κίνησης. Μια τέτοια απλή περίπτωση μπορεί να διορθωθεί με τον ίδιο τρόπο που περιγράφονται οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις σε μια αριθμομηχανή σε γενική μορφή, θα είναι ταχύτερη και η μετατόπιση των υπολογισμών δεν θα οδηγήσει σε εσφαλμένη γνώμη. Μόνο πέντε περιπτώσεις που ονομάζονται σύμφωνα με τη θεωρία μπορούν να ξεπεράσουν τα όρια αυτού που συμβαίνει. Η λύση των διαφορικών εξισώσεων μας θα σας βοηθήσει να υπολογίσετε χειροκίνητα την τιμή σε αριθμούς ήδη στα πρώτα στάδια της αποσύνθεσης του χώρου συναρτήσεων. Στα σωστά σημεία είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε το σημείο επαφής των τεσσάρων γραμμών με μια γενική έννοια. Αλλά αν πρέπει να μετατοπίσετε την εργασία, τότε θα είναι εύκολο να εξισώσετε την πολυπλοκότητα. Τα αρχικά δεδομένα είναι επαρκή για το σχεδιασμό του διπλανού σκέλους και οι διαδικτυακές διαφορικές εξισώσεις φαίνονται αριστερή στοίχιση και η επιφάνεια είναι μονόπλευρη στραμμένη προς τον ρότορα του διανύσματος. Πάνω από το ανώτατο όριο, είναι δυνατές αριθμητικές τιμές πέρα από την καθορισμένη συνθήκη. Είναι δυνατό να ληφθεί υπόψη ο μαθηματικός τύπος και να λυθεί η διαφορική εξίσωση διαδικτυακά χρησιμοποιώντας τρία άγνωστα στη γενική τιμή της αναλογίας. Η τοπική μέθοδος υπολογισμού αναγνωρίζεται ως έγκυρη. Το σύστημα συντεταγμένων είναι ορθογώνιο στη σχετική κίνηση του επιπέδου. Η γενική λύση των διαφορικών εξισώσεων σε απευθείας σύνδεση μας επιτρέπει να βγάλουμε αναμφισβήτητα ένα συμπέρασμα υπέρ μιας υπολογιστικής εκτέλεσης μέσω των ορισμών του πίνακα σε ολόκληρη την ευθεία που βρίσκεται πάνω από το γράφημα μιας ρητά καθορισμένης συνάρτησης. Η λύση είναι καθαρά ορατή εάν εφαρμόσετε το διάνυσμα κίνησης στο σημείο επαφής των τριών ημισφαιρίων. Ο κύλινδρος προκύπτει περιστρέφοντας το ορθογώνιο γύρω από την πλευρά και οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις θα μπορούν να δείξουν την κατεύθυνση κίνησης του σημείου σύμφωνα με τις δεδομένες εκφράσεις του νόμου της κίνησής του. Τα αρχικά δεδομένα είναι σωστά και το πρόβλημα στα μαθηματικά είναι εναλλάξιμα υπό μια απλή συνθήκη. Ωστόσο, λόγω συνθηκών, λόγω της πολυπλοκότητας της υποθέσεως που τίθεται, οι διαφορικές εξισώσεις απλοποιούν τη διαδικασία υπολογισμού αριθμητικών χώρων σε επίπεδο τρισδιάστατου χώρου. Είναι εύκολο να αποδειχθεί το αντίθετο, αλλά μπορεί να αποφευχθεί, όπως στο παράδειγμα που δίνεται. Στα ανώτερα μαθηματικά παρέχονται τα ακόλουθα σημεία: όταν ένα πρόβλημα περιορίζεται σε απλοποιημένη μορφή, θα πρέπει να καταβάλλεται η μεγαλύτερη δυνατή προσπάθεια εκ μέρους των μαθητών. Λαμβάνονται υπόψη οι γραμμές που υπερτίθενται η μία στην άλλη. Σχετικά με την επίλυση διαφορών εξακολουθεί να επαναλαμβάνεται το πλεονέκτημα της εν λόγω μεθόδου σε μια καμπύλη γραμμή. Εάν πρώτα αναγνωρίσετε κάτι που δεν είναι αυτό που χρειάζεστε, τότε ο μαθηματικός τύπος θα δημιουργήσει ένα νέο νόημα για την έκφραση. Στόχος είναι η βέλτιστη προσέγγιση για την επίλυση των καθηκόντων που θέτει ο καθηγητής. Δεν πρέπει να υποθέσετε ότι οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις σε απλοποιημένη μορφή θα υπερβούν το αναμενόμενο αποτέλεσμα. Τοποθετούμε τρία διανύσματα σε μια πεπερασμένη επιφάνεια. ορθογώνια μεταξύ τους. Ας υπολογίσουμε το γινόμενο. Ας προσθέσουμε έναν μεγαλύτερο αριθμό συμβόλων και ας γράψουμε όλες τις μεταβλητές της συνάρτησης από την παράσταση που προκύπτει. Υπάρχει μια αναλογία. Αρκετές ενέργειες που προηγούνται του τέλους του υπολογισμού δεν θα δώσουν μια σαφή απάντηση στη λύση των διαφορικών εξισώσεων αμέσως, αλλά μόνο αφού παρέλθει ο καθορισμένος χρόνος κατά μήκος του άξονα y. Στα αριστερά του σημείου ασυνέχειας, που καθορίζεται σιωπηρά από τη συνάρτηση, σχεδιάζουμε έναν άξονα ορθογώνιο στο βέλτιστο αυξανόμενο διάνυσμα και τοποθετούμε διαδικτυακές διαφορικές εξισώσεις κατά μήκος της μικρότερης οριακής τιμής της κάτω όψης του μαθηματικού αντικειμένου. Προσθέτουμε το επιπλέον όρισμα στην περιοχή αλλαγής συνάρτησης. Στα δεξιά των σημείων όπου βρίσκεται η καμπύλη γραμμή, οι τύποι που έχουμε γράψει για αναγωγή σε κοινό παρονομαστή θα σας βοηθήσουν να λύσετε τη διαφορική εξίσωση διαδικτυακά. Θα ακολουθήσουμε τη μόνη σωστή προσέγγιση που θα ρίξει φως σε άλυτα προβλήματα από τη θεωρία στην πράξη, στη γενική περίπτωση αναμφισβήτητα. Οι γραμμές προς την κατεύθυνση των συντεταγμένων των δεδομένων σημείων δεν έκλεισαν ποτέ την ακραία θέση του τετραγώνου, αλλά η επίλυση διαφορικών εξισώσεων στο Διαδίκτυο θα βοηθήσει τους μαθητές, εμάς και τους αρχάριους σε αυτό το πεδίο στη μελέτη των μαθηματικών. Μιλάμε για τη δυνατότητα αντικατάστασης ενός ορίσματος τιμής σε όλες τις σημαντικές γραμμές ενός πεδίου. Κατ' αρχήν, όπως θα περίμενε κανείς, οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις μας είναι κάτι απομονωμένο σε μια ενιαία έννοια της δεδομένης σημασίας. Για να βοηθήσει τους μαθητές, μια από τις καλύτερες αριθμομηχανές μεταξύ παρόμοιων υπηρεσιών. Παρακολουθήστε όλα τα μαθήματα και επιλέξτε το καλύτερο για τον εαυτό σας.

Όντας άρρηκτα συνδεδεμένοι, και οι δύο έχουν χρησιμοποιηθεί ενεργά για αρκετούς αιώνες για την επίλυση σχεδόν όλων των προβλημάτων που προέκυψαν στη διαδικασία της ανθρώπινης επιστημονικής και τεχνικής δραστηριότητας.

Η εμφάνιση της έννοιας του διαφορικού

Ο διάσημος Γερμανός μαθηματικός Gottfried Wilhelm Leibniz, ένας από τους δημιουργούς (μαζί με τον Isaac Newton) του διαφορικού λογισμού, ήταν ο πρώτος που εξήγησε τι είναι διαφορικό. Πριν από αυτό, μαθηματικοί του 17ου αι. Χρησιμοποιήθηκε μια πολύ ασαφής και ασαφής ιδέα για κάποιο απείρως μικρό «αδιαίρετο» μέρος οποιασδήποτε γνωστής συνάρτησης, το οποίο αντιπροσώπευε μια πολύ μικρή σταθερή τιμή, αλλά όχι ίση με το μηδέν, μικρότερη από την οποία οι τιμές της συνάρτησης απλά δεν μπορούν να είναι. Από εδώ ήταν μόνο ένα βήμα για την εισαγωγή της έννοιας των απειροελάχιστων αυξήσεων των ορισμάτων των συναρτήσεων και των αντίστοιχων αυξήσεων των ίδιων των συναρτήσεων, που εκφράζονται μέσω των παραγώγων των τελευταίων. Και αυτό το βήμα το έκαναν σχεδόν ταυτόχρονα οι δύο προαναφερθέντες μεγάλοι επιστήμονες.

Με βάση την ανάγκη επίλυσης πιεστικών πρακτικών προβλημάτων της μηχανικής, που τέθηκαν στην επιστήμη από την ταχέως αναπτυσσόμενη βιομηχανία και τεχνολογία, οι Newton και Leibniz δημιούργησαν γενικές μεθόδους για την εύρεση του ρυθμού μεταβολής των συναρτήσεων (κυρίως σε σχέση με τη μηχανική ταχύτητα ενός σώματος κατά μήκος μια γνωστή τροχιά), η οποία οδήγησε στην εισαγωγή εννοιών όπως η παράγωγος και το διαφορικό μιας συνάρτησης, και επίσης βρήκε έναν αλγόριθμο για την επίλυση του αντιστρόφου προβλήματος του τρόπου εύρεσης της διανυθείσας απόστασης χρησιμοποιώντας μια γνωστή (μεταβλητή) ταχύτητα, η οποία οδήγησε στην εμφάνιση της έννοιας του ολοκληρώματος.

Στα έργα των Leibniz και Newton, εμφανίστηκε για πρώτη φορά η ιδέα ότι τα διαφορικά είναι τα κύρια μέρη των προσαυξήσεων των συναρτήσεων Δy ανάλογα με τις προσαυξήσεις των ορισμάτων Δx, τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν με επιτυχία για τον υπολογισμό των τιμών των τελευταίων. Με άλλα λόγια, ανακάλυψαν ότι η αύξηση μιας συνάρτησης μπορεί σε οποιοδήποτε σημείο (εντός του πεδίου ορισμού της) να εκφραστεί μέσω της παραγώγου της ως Δου = y"(x) Δχ + αΔχ, όπου α Δχ είναι ο υπόλοιπος όρος που τείνει να μηδέν ως Δх→ 0, πολύ πιο γρήγορα από το ίδιο το Δx.

Σύμφωνα με τους ιδρυτές της μαθηματικής ανάλυσης, τα διαφορικά είναι ακριβώς οι πρώτοι όροι στις εκφράσεις για προσαυξήσεις οποιωνδήποτε συναρτήσεων. Μη έχοντας ακόμη μια σαφώς διατυπωμένη έννοια του ορίου των ακολουθιών, κατάλαβαν διαισθητικά ότι η τιμή του διαφορικού τείνει στην παράγωγο της συνάρτησης ως Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

Σε αντίθεση με τον Νεύτωνα, ο οποίος ήταν κυρίως φυσικός και θεωρούσε τη μαθηματική συσκευή ως βοηθητικό εργαλείο για τη μελέτη φυσικών προβλημάτων, ο Leibniz έδωσε μεγαλύτερη προσοχή σε αυτή την ίδια την εργαλειοθήκη, συμπεριλαμβανομένου ενός συστήματος οπτικών και κατανοητών σημειώσεων για μαθηματικά μεγέθη. Ήταν αυτός που πρότεινε τον γενικά αποδεκτό συμβολισμό για τα διαφορικά της συνάρτησης dy = y"(x)dx, το όρισμα dx και την παράγωγο της συνάρτησης με τη μορφή του λόγου τους y"(x) = dy/dx.

Σύγχρονος ορισμός

Ποια είναι η διαφορά από την άποψη των σύγχρονων μαθηματικών; Σχετίζεται στενά με την έννοια της αύξησης μιας μεταβλητής. Αν η μεταβλητή y λάβει πρώτα την τιμή y = y 1 και μετά y = y 2, τότε η διαφορά y 2 ─ y 1 ονομάζεται αύξηση του y.

Η αύξηση μπορεί να είναι θετική. αρνητικό και ίσο με μηδέν. Η λέξη «αύξηση» συμβολίζεται με Δ, ο συμβολισμός Δу (διαβάστε «δέλτα y») υποδηλώνει την αύξηση της τιμής y. οπότε Δу = y 2 ─ y 1 .

Εάν η τιμή Δυ μιας αυθαίρετης συνάρτησης y = f (x) μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή Δου = A Δχ + α, όπου το A δεν έχει εξάρτηση από το Δχ, δηλ. A = const για ένα δεδομένο x και ο όρος α για το Δх Το →0 τείνει να είναι ακόμη πιο γρήγορο από το ίδιο το Δx, τότε ο πρώτος ("κύριος") όρος, ανάλογος του Δx, είναι για y = f (x) ένα διαφορικό, που συμβολίζεται με dy ή df(x) (διαβάστε "de igrek" , «δε εφ από το x»). Επομένως, τα διαφορικά είναι τα «κύρια» συστατικά των αυξήσεων συναρτήσεων που είναι γραμμικά ως προς το Δx.

Μηχανική ερμηνεία

Έστω s = f (t) η απόσταση του ευθύγραμμα κινούμενου οχήματος από την αρχική θέση (t είναι ο χρόνος διαδρομής). Η αύξηση Δs είναι η διαδρομή του σημείου κατά τη διάρκεια του χρονικού διαστήματος Δt, και η διαφορική ds = f" (t) Δt είναι η διαδρομή που θα είχε διανύσει το σημείο στον ίδιο χρόνο Δt αν είχε διατηρήσει την ταχύτητα f"(t ) επιτυγχάνεται με το χρόνο t . Για ένα απειροελάχιστο Δt, το φανταστικό μονοπάτι ds διαφέρει από το αληθινό Δs κατά ένα απειροελάχιστο ποσό, το οποίο έχει υψηλότερη τάξη σε σχέση με το Δt. Αν η ταχύτητα τη στιγμή t δεν είναι μηδέν, τότε το ds δίνει μια κατά προσέγγιση τιμή της μικρής μετατόπισης του σημείου.

Γεωμετρική ερμηνεία

Έστω η ευθεία L η γραφική παράσταση του y = f(x). Τότε Δ x = MQ, Δου = QM" (βλ. παρακάτω σχήμα). Η εφαπτομένη MN χωρίζει το τμήμα Δy σε δύο μέρη, QN και NM." Το πρώτο είναι ανάλογο του Δх και ισούται με QN = MQ∙tg (γωνία QMN) = Δх f "(x), δηλαδή το QN είναι το διαφορικό dy.

Το δεύτερο μέρος NM" δίνει τη διαφορά Δу ─ dy, με Δх→0 το μήκος NM" μειώνεται ακόμη πιο γρήγορα από την αύξηση του ορίσματος, δηλαδή η τάξη μικρότητάς του είναι μεγαλύτερη από αυτή του Δх. Στην περίπτωση που εξετάζουμε, για f "(x) ≠ 0 (η εφαπτομένη δεν είναι παράλληλη προς το OX), τα τμήματα QM" και QN είναι ισοδύναμα. Με άλλα λόγια, το NM" μειώνεται γρηγορότερα (η τάξη μικρότητάς του είναι υψηλότερη) από τη συνολική αύξηση Δυ = QM". Αυτό φαίνεται στο σχήμα (καθώς το M "προσεγγίζει το M, το τμήμα NM" αποτελεί ένα όλο και μικρότερο ποσοστό του τμήματος QM").

Άρα, γραφικά, το διαφορικό μιας αυθαίρετης συνάρτησης ισούται με την αύξηση της τεταγμένης της εφαπτομένης της.

Παράγωγο και διαφορικό

Ο συντελεστής Α στον πρώτο όρο της έκφρασης για την αύξηση μιας συνάρτησης είναι ίσος με την τιμή της παραγώγου της f "(x). Έτσι, ισχύει η ακόλουθη σχέση - dy = f "(x)Δx, ή df (x) = f "(x)Δx.

Είναι γνωστό ότι η αύξηση ενός ανεξάρτητου ορίσματος είναι ίση με το διαφορικό του Δх = dx. Αντίστοιχα, μπορούμε να γράψουμε: f "(x) dx = dy.

Η εύρεση (μερικές φορές αποκαλούμενη «λύση») διαφορικών ακολουθεί τους ίδιους κανόνες όπως και για τα παράγωγα. Μια λίστα με αυτά δίνεται παρακάτω.

Τι είναι πιο καθολικό: η αύξηση ενός ορίσματος ή το διαφορικό του

Εδώ πρέπει να γίνουν κάποιες διευκρινίσεις. Η αναπαράσταση ενός διαφορικού με την τιμή f "(x)Δx είναι δυνατή όταν θεωρούμε το x ως όρισμα. Αλλά η συνάρτηση μπορεί να είναι σύνθετη, στην οποία το x μπορεί να είναι συνάρτηση κάποιου ορίσματος t. Στη συνέχεια αναπαριστά τη διαφορά με την έκφραση f "( x) Το Δx είναι, κατά κανόνα, αδύνατο. εκτός από την περίπτωση της γραμμικής εξάρτησης x = at + b.

Όσον αφορά τον τύπο f "(x)dx = dy, τότε τόσο στην περίπτωση ενός ανεξάρτητου ορίσματος x (τότε dx = Δx) όσο και στην περίπτωση μιας παραμετρικής εξάρτησης του x από το t, αντιπροσωπεύει ένα διαφορικό.

Για παράδειγμα, η παράσταση 2 x Δx αντιπροσωπεύει για y = x 2 τη διαφορική της όταν x είναι το όρισμα. Ας βάλουμε τώρα x = t 2 και ας θεωρήσουμε το t ως όρισμα. Τότε y = x 2 = t 4.

Αυτή η έκφραση δεν είναι ανάλογη του Δt και επομένως τώρα το 2xΔx δεν είναι διαφορικό. Μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση y = x 2 = t 4. Αποδεικνύεται ίσο με dy=4t 3 Δt.

Αν πάρουμε την παράσταση 2xdx, τότε αντιπροσωπεύει τη διαφορική y = x 2 για οποιοδήποτε όρισμα t. Πράγματι, για x = t 2 λαμβάνουμε dx = 2tΔt.

Αυτό σημαίνει 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, δηλαδή, οι διαφορικές εκφράσεις που γράφτηκαν με όρους δύο διαφορετικών μεταβλητών συνέπεσαν.

Αντικατάσταση αυξήσεων με διαφορικά

Αν f "(x) ≠ 0, τότε το Δου και το dy είναι ισοδύναμα (για Δх→0), αν f "(x) = 0 (που σημαίνει dy = 0), δεν είναι ισοδύναμα.

Για παράδειγμα, αν y = x 2, τότε Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2, και dy = 2xΔх. Αν x=3, τότε έχουμε Δου = 6Δх + Δх 2 και dy = 6Δх, που είναι ισοδύναμα λόγω Δх 2 →0, στο x=0 οι τιμές Δου = Δх 2 και dy=0 δεν είναι ισοδύναμες.

Αυτό το γεγονός, μαζί με την απλή δομή του διαφορικού (δηλαδή, τη γραμμικότητα ως προς το Δx), χρησιμοποιείται συχνά σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς, με την υπόθεση ότι Δy ≈ dy για μικρό Δx. Η εύρεση του διαφορικού μιας συνάρτησης είναι συνήθως ευκολότερη από τον υπολογισμό της ακριβούς τιμής της αύξησης.

Για παράδειγμα, έχουμε έναν μεταλλικό κύβο με ακμή x = 10,00 εκ. Όταν θερμαίνεται η άκρη επιμηκύνεται κατά Δx = 0,001 εκ. Πόσο αυξήθηκε ο όγκος V του κύβου; Έχουμε V = x 2, άρα dV = 3x 2 Δx = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (cm 3). Η αύξηση του όγκου ΔV είναι ισοδύναμη με το διαφορικό dV, άρα ΔV = 3 cm 3 . Ένας πλήρης υπολογισμός θα έδινε ΔV = 10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Αλλά σε αυτό το αποτέλεσμα όλα τα στοιχεία εκτός από το πρώτο είναι αναξιόπιστα. Αυτό σημαίνει ότι δεν πειράζει, πρέπει να το στρογγυλοποιήσετε στα 3 cm 3.

Προφανώς, αυτή η προσέγγιση είναι χρήσιμη μόνο εάν είναι δυνατόν να εκτιμηθεί το μέγεθος του σφάλματος που εισάγεται από αυτήν.

Διαφορικό συνάρτησης: παραδείγματα

Ας προσπαθήσουμε να βρούμε το διαφορικό της συνάρτησης y = x 3 χωρίς να βρούμε την παράγωγο. Ας δώσουμε στο όρισμα μια αύξηση και ας ορίσουμε το Δου.

Δου = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

Εδώ ο συντελεστής A = 3x 2 δεν εξαρτάται από το Δx, άρα ο πρώτος όρος είναι ανάλογος του Δx, ενώ ο άλλος όρος 3xΔx 2 + Δx 3 στο Δx→0 μειώνεται ταχύτερα από την αύξηση του ορίσματος. Επομένως, ο όρος 3x 2 Δx είναι το διαφορικό y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx ή d(x 3) = 3x 2 dx.

Σε αυτήν την περίπτωση, d(x 3) / dx = 3x 2.

Ας βρούμε τώρα το dy της συνάρτησης y = 1/x μέσω της παραγώγου της. Τότε d(1/x) / dx = ─1/x 2. Επομένως dy = ─ Δx/x 2.

Οι διαφορικές βασικές αλγεβρικές συναρτήσεις δίνονται παρακάτω.

Κατά προσέγγιση υπολογισμοί με χρήση διαφορικού

Συχνά δεν είναι δύσκολο να υπολογιστεί η συνάρτηση f (x), καθώς και η παράγωγός της f "(x) στο x=a, αλλά το να κάνουμε το ίδιο κοντά στο σημείο x=a δεν είναι εύκολο. Τότε η κατά προσέγγιση έκφραση έρχεται στη διάσωση

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

Δίνει μια κατά προσέγγιση τιμή της συνάρτησης για μικρές προσαυξήσεις Δх μέσω του διαφορικού της f "(a)Δх.

Συνεπώς, αυτός ο τύπος δίνει μια κατά προσέγγιση έκφραση για τη συνάρτηση στο τελικό σημείο ενός συγκεκριμένου τμήματος μήκους Δx με τη μορφή του αθροίσματος της τιμής της στο σημείο εκκίνησης αυτού του τμήματος (x=a) και της διαφορικής στην ίδια αρχή σημείο. Το σφάλμα σε αυτή τη μέθοδο προσδιορισμού της τιμής μιας συνάρτησης απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα.

Ωστόσο, η ακριβής έκφραση για την τιμή της συνάρτησης για x=a+Δх είναι επίσης γνωστή, που δίνεται από τον τύπο της πεπερασμένης αύξησης (ή, με άλλα λόγια, τον τύπο Lagrange)

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

όπου το σημείο x = a+ ξ βρίσκεται στο τμήμα από x = a έως x = a + Δx, αν και η ακριβής θέση του είναι άγνωστη. Ο ακριβής τύπος σάς επιτρέπει να εκτιμήσετε το σφάλμα του κατά προσέγγιση τύπου. Αν βάλουμε ξ = Δx /2 στον τύπο Lagrange, τότε αν και παύει να είναι ακριβής, συνήθως δίνει πολύ καλύτερη προσέγγιση από την αρχική έκφραση μέσω του διαφορικού.

Εκτίμηση του σφάλματος των τύπων με χρήση διαφορικού

Κατ' αρχήν, είναι ανακριβείς και εισάγουν αντίστοιχα σφάλματα στα δεδομένα μέτρησης. Χαρακτηρίζονται από ένα οριακό ή, εν συντομία, μέγιστο σφάλμα - ένας θετικός αριθμός που είναι προφανώς μεγαλύτερος από αυτό το σφάλμα σε απόλυτη τιμή (ή, σε ακραίες περιπτώσεις, ίσο με αυτό). Το όριο είναι το πηλίκο του διαιρούμενο με την απόλυτη τιμή της μετρούμενης ποσότητας.

Έστω ο ακριβής τύπος y= f (x) για τον υπολογισμό της συνάρτησης y, αλλά η τιμή του x είναι το αποτέλεσμα μιας μέτρησης και επομένως εισάγει ένα σφάλμα στο y. Στη συνέχεια, για να βρείτε το μέγιστο απόλυτο σφάλμα │‌‌Δου│συνάρτηση y, χρησιμοποιήστε τον τύπο

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

όπου │Δх│είναι το μέγιστο σφάλμα του ορίσματος. Η τιμή │‌‌Δου│ πρέπει να στρογγυλοποιηθεί προς τα πάνω, επειδή Η ίδια η αντικατάσταση του υπολογισμού της προσαύξησης με τον υπολογισμό του διαφορικού είναι ανακριβής.

Διαφορικό... Για κάποιους είναι μια όμορφη μακρινή λέξη, για άλλους όμως είναι μια ακατανόητη λέξη που συνδέεται με τα μαθηματικά. Αλλά αν αυτό είναι το σκληρό δώρο σας, το άρθρο μας θα σας βοηθήσει να μάθετε πώς να «ετοιμάζετε» σωστά το διαφορικό και με τι να το «σερβίρετε».

Στα μαθηματικά, διαφορικό νοείται ως το γραμμικό μέρος της αύξησης μιας συνάρτησης. Η έννοια του διαφορικού είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με τον συμβολισμό της παραγώγου σύμφωνα με τον Leibniz f′(x 0) = df/dx·x 0. Με βάση αυτό, το διαφορικό πρώτης τάξης για μια συνάρτηση f που ορίζεται στο σύνολο X έχει την ακόλουθη μορφή: d x0 f = f′(x 0)·d x0 x. Όπως μπορείτε να δείτε, για να αποκτήσετε ένα διαφορικό πρέπει να μπορείτε να βρείτε ελεύθερα παράγωγα. Επομένως, θα ήταν χρήσιμο να επαναλάβουμε τους κανόνες για τον υπολογισμό των παραγώγων προκειμένου να κατανοήσουμε τι θα συμβεί στο μέλλον. Λοιπόν, ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στη διαφοροποίηση χρησιμοποιώντας παραδείγματα. Πρέπει να βρούμε το διαφορικό μιας συνάρτησης που δίνεται με αυτή τη μορφή: y = x 3 -x 4. Αρχικά, ας βρούμε την παράγωγο της συνάρτησης: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3. Λοιπόν, τώρα η λήψη του διαφορικού είναι τόσο εύκολη όσο το ξεφλούδισμα των αχλαδιών: df = (3x 3 -4x 3) dx. Τώρα έχουμε λάβει το διαφορικό με τη μορφή τύπου· στην πράξη, συχνά μας ενδιαφέρει επίσης η ψηφιακή τιμή του διαφορικού για δεδομένες συγκεκριμένες παραμέτρους x και ∆x. Υπάρχουν περιπτώσεις που μια συνάρτηση εκφράζεται σιωπηρά ως x. Για παράδειγμα, y = x²-y x. Η παράγωγος της συνάρτησης έχει την εξής μορφή: 2x-(y x)′. Αλλά πώς να πάρει το (y x)′; Μια τέτοια συνάρτηση ονομάζεται σύνθετη και διαφοροποιείται σύμφωνα με τον αντίστοιχο κανόνα: df/dx = df/dy·dy/dx. Στην περίπτωση αυτή: df/dy = x·y x-1, και dy/dx = y′. Τώρα τα βάζουμε όλα μαζί: y′ = 2x-(x·y x-1 ·y′). Ομαδοποιούμε όλα τα παιχνίδια προς μία κατεύθυνση: (1+x·y x-1)·y′ = 2x, και ως αποτέλεσμα παίρνουμε: y′ = 2x/(1+x·y x-1) = dy/ dx. Με βάση αυτό, dy = 2x dx/(1+x y x-1). Φυσικά, είναι καλό που τέτοιες εργασίες είναι σπάνιες. Τώρα όμως είσαι έτοιμος και για αυτούς. Εκτός από τα διαφορικά πρώτης τάξης που εξετάζονται, υπάρχουν και διαφορικά υψηλότερης τάξης. Ας προσπαθήσουμε να βρούμε το διαφορικό για τη συνάρτηση d /ρε(x 3 )· (x 3 – 2 x 6 – x 9 ), που θα είναι το διαφορικό δεύτερης τάξης για f(x). Με βάση τον τύπο f′(u) = d/du·f(u), όπου u = f(x), παίρνουμε u = x 3 . Παίρνουμε: d/d(u)·(u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)′ = 1-4u-3u 2. Επιστρέφουμε την αντικατάσταση και παίρνουμε την απάντηση - 1 – x 3 – x 6, x≠0. Μια ηλεκτρονική υπηρεσία μπορεί επίσης να σας βοηθήσει να βρείτε τη διαφορά. Φυσικά, δεν θα το χρησιμοποιήσετε σε τεστ ή εξετάσεις. Αλλά όταν ελέγχετε ανεξάρτητα την ορθότητα μιας απόφασης, ο ρόλος της είναι δύσκολο να υπερεκτιμηθεί. Εκτός από το ίδιο το αποτέλεσμα, δείχνει επίσης ενδιάμεσες λύσεις, γραφήματα και το αόριστο ολοκλήρωμα της διαφορικής συνάρτησης, καθώς και τις ρίζες της διαφορικής εξίσωσης. Το μόνο μειονέκτημα είναι ότι η συνάρτηση γράφεται σε μία γραμμή καθώς πληκτρολογείτε, αλλά με την πάροδο του χρόνου μπορείτε να το συνηθίσετε. Λοιπόν, φυσικά, μια τέτοια υπηρεσία δεν μπορεί να αντιμετωπίσει πολύπλοκες λειτουργίες, αλλά ό,τι είναι απλούστερο εξαρτάται από αυτήν. Το διαφορικό βρίσκει πρακτική εφαρμογή κυρίως στη φυσική και την οικονομία. Έτσι, στη φυσική, προβλήματα που σχετίζονται με τον προσδιορισμό της ταχύτητας και της παραγώγου της, της επιτάχυνσης, λύνονται συχνά με διαφοροποίηση. Και στα οικονομικά, η διαφορά είναι αναπόσπαστο μέρος του υπολογισμού της αποτελεσματικότητας μιας επιχείρησης και της δημοσιονομικής πολιτικής του κράτους, για παράδειγμα, της επίδρασης της χρηματοοικονομικής μόχλευσης.

Αυτό το άρθρο εξετάζει τυπικά προβλήματα διαφοροποίησης. Το μάθημα των ανώτερων μαθηματικών για φοιτητές πανεπιστημίου συχνά περιέχει επίσης εργασίες σχετικά με τη χρήση διαφορικών σε κατά προσέγγιση υπολογισμούς, καθώς και την αναζήτηση λύσεων σε διαφορικές εξισώσεις. Αλλά το κύριο πράγμα είναι ότι με μια σαφή κατανόηση των βασικών, μπορείτε εύκολα να αντιμετωπίσετε όλες τις νέες εργασίες.

Διαφορική εξίσωση

Μια διαφορική εξίσωση είναι μια εξίσωση στην οποία συσχετίζονται μεταβλητές, σταθεροί συντελεστές, η επιθυμητή συνάρτηση και παράγωγοι της συνάρτησης οποιασδήποτε τάξης. Στην περίπτωση αυτή, η μέγιστη τάξη της παραγώγου της συνάρτησης που υπάρχει στην εξίσωση καθορίζει τη σειρά ολόκληρης της διαφορικής εξίσωσης. Η επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης σημαίνει τον ορισμό της επιθυμητής συνάρτησης ως εξάρτηση από μια μεταβλητή.

Οι σύγχρονοι υπολογιστές καθιστούν δυνατή την αριθμητική επίλυση των πιο περίπλοκων διαφορικών εξισώσεων. Η εύρεση μιας αναλυτικής λύσης είναι ένα δύσκολο έργο. Υπάρχουν πολλά είδη εξισώσεων και για καθεμία η θεωρία προσφέρει τις δικές της μεθόδους λύσης. Στον ιστότοπο του ιστότοπου διαφορική εξίσωσημπορεί να υπολογιστεί ηλεκτρονικά και σχεδόν οποιουδήποτε τύπου και σειράς: γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, με διαχωρίσιμες ή μη διαχωρίσιμες μεταβλητές, εξισώσεις Bernoulli κ.λπ. Ταυτόχρονα, έχετε την ευκαιρία να λύσετε εξισώσεις σε γενική μορφή ή να αποκτήσετε μια συγκεκριμένη λύση που αντιστοιχεί στις αρχικές (οριακές) συνθήκες που εισαγάγατε. Προτείνουμε να συμπληρώσετε δύο πεδία για τη λύση: την ίδια την εξίσωση και, εάν είναι απαραίτητο, τις αρχικές συνθήκες (πρόβλημα Cauchy) - δηλαδή πληροφορίες σχετικά με τις οριακές συνθήκες της επιθυμητής συνάρτησης. Άλλωστε, όπως γνωρίζετε, οι διαφορικές εξισώσεις έχουν άπειρο αριθμό λύσεων, αφού η απάντηση περιέχει σταθερές που μπορούν να λάβουν μια αυθαίρετη τιμή. Έχοντας δώσει το πρόβλημα Cauchy, επιλέγουμε συγκεκριμένες από το σύνολο των λύσεων.

Αυτή η ηλεκτρονική αριθμομηχανή αναπτύχθηκε από τη WolframAlpha και σας επιτρέπει να λύσετε τόσο τυπικές διαφορικές εξισώσεις όσο και εξισώσεις που δεν έχουν μια τυπική προσέγγιση στη λύση.