Дифференциал функции. Дифференциалы - это что такое? Как найти дифференциал функции? Дифференциалом dy функции y f x называется

Определение дифференциала

Рассмотрим функцию \(y = f\left(x \right),\) которая является непрерывной в интервале \(\left[ {a,b} \right].\) Предположим, что в некоторой точке \({x_0} \in \left[ {a,b} \right]\) независимая переменная получает приращение \(\Delta x.\) Приращение функции \(\Delta y,\) соответствующее такому изменению аргумента \(\Delta x,\) выражается формулой \[\Delta y = \Delta f\left({{x_0}} \right) = f\left({{x_0} + \Delta x} \right) - f\left({{x_0}} \right).\] Для любой дифференцируемой функции приращение \(\Delta y\) можно представить в виде суммы двух слагаемых: \[\Delta y = A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right),\] где первый член (т.н. главная часть приращения) линейно зависит от приращения \(\Delta x,\) а второй член имеет более высокий порядок малости относительно \(\Delta x.\) Выражение \(A\Delta x\) называется дифференциалом функции и обозначается символом \(dy\) или \(df\left({{x_0}} \right).\)

Рассмотрим эту идею разбиения приращения функции \(\Delta y\) на две части на простом примере. Пусть задан квадрат со стороной \({x_0} = 1 \,\text{м}\,\) (рисунок \(1\)). Его площадь, очевидно, равна \[{S_0} = x_0^2 = 1 \,\text{м}^2.\] Если сторону квадрата увеличить на \(\Delta x = 1\,\text{см},\) то точное значение площади увеличенного квадрата будет составлять \ т.е. приращение площади \(\Delta S\) равно \[ {\Delta S = S - {S_0} = 1,0201 - 1 = 0,0201\,\text{м}^2 } = {201\,\text{см}^2.} \] Представим теперь это приращение \(\Delta S\) в таком виде: \[\require{cancel} {\Delta S = S - {S_0} = {\left({{x_0} + \Delta x} \right)^2} - x_0^2 } = {\cancel{x_0^2} + 2{x_0}\Delta x + {\left({\Delta x} \right)^2} - \cancel{x_0^2} } = {2{x_0}\Delta x + {\left({\Delta x} \right)^2} } = {A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right) } = {dy + o\left({\Delta x} \right).} \] Итак, приращение функции \(\Delta S\) состоит из главной части (дифференциала функции), которая пропорциональна \(\Delta x\) и равна \ и члена более высокого порядка малости, в свою очередь, равного \[\omicron\left({\Delta x} \right) = {\left({\Delta x} \right)^2} = {0,01^2} = 0,0001\,\text{м}^2 = 1\,\text{см}^2.\] В сумме оба этих члена составляют полное приращение площади квадрата, равное \(200 + 1 = 201\,\text{см}^2.\)

Заметим, что в данном примере коэффициент \(A\) равен значению производной функции \(S\) в точке \({x_0}:\) \ Оказывается, что для любой дифференцируемой функции справедлива следующая теорема :

Коэффициент \(A\) главной части приращения функции в точке \({x_0}\) равен значению производной \(f"\left({{x_0}} \right)\) в этой точке, т.е. приращение \(\Delta y\) выражается формулой \[ {\Delta y = A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right) } = {f"\left({{x_0}} \right)\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right).} \] Разделив обе части этого равенства на \(\Delta x \ne 0,\) имеем \[ {\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = A + \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}} } = {f"\left({{x_0}} \right) + \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}}.} \] В пределе при \(\Delta x \to 0\) получаем значение производной в точке \({x_0}:\) \[ {y"\left({{x_0}} \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {A = f"\left({{x_0}} \right).} \] Здесь мы учли, что для малой величины \(\omicron\left({\Delta x} \right)\) более высокого порядка малости, чем \(\Delta x,\) предел равен \[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}} = 0.\] Если считать, что дифференциал независимой переменной \(dx\) равен ее приращению \(\Delta x:\) \ то из соотношения \ следует, что \ т.е. производную функции можно представить как отношение двух дифференциалов.

Геометрический смысл дифференциала функции

На рисунке \(2\) схематически показана разбивка приращения функции \(\Delta y\) на главную часть \(A\Delta x\) (дифференциал функции) и член высшего порядка малости \(\omicron\left({\Delta x} \right)\).

Касательная \(MN\), проведенная к кривой функции \(y = f\left(x \right)\) в точке \(M\), как известно, имеет угол наклона \(\alpha\), тангенс которого равен производной: \[\tan \alpha = f"\left({{x_0}} \right).\] При изменении аргумента на \(\Delta x\) касательная получает приращение \(A\Delta x.\) Это линейное приращение, образованное касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения \(\Delta y\) (отрезок \(N{M_1}\)) соответствует "нелинейной" добавке с более высоким порядком малости относительно \(\Delta x\).

Свойства дифференциала

Пусть \(u\) и \(v\) − функции переменной \(x\). Дифференциал обладает следующими свойствами:

1. Постоянный коэффициент можно выносить за знак дифференциала:

   \(d\left({Cu} \right) = Cdu\), где \(C\) − постоянное число.

2. Дифференциал суммы (разности) функций:

   \(d\left({u \pm v} \right) = du \pm dv.\)

3. Дифференциал постоянной величины равен нулю:

   \(d\left(C \right) = 0.\)

4. Дифференциал независимой переменной \(x\) равен ее приращению:

   \(dx = \Delta x.\)

5. Дифференциал линейной функции равен ее приращению:

   \(d\left({ax + b} \right) = \Delta \left({ax + b} \right) = a\Delta x.\)

6. Дифференциал произведения двух функций:

   \(d\left({uv} \right) = du \cdot v + u \cdot dv.\)

7. Дифференциал частного двух функций:

   \(d\left({\large\frac{u}{v}\normalsize} \right) = \large\frac{{du \cdot v - u \cdot dv}}{{{v^2}}}\normalsize.\)

8. Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента:

   \(dy = df\left(x \right) = f"\left(x \right)dx.\)

Как видно, дифференциал функции \(dy\) отличается от производной лишь множителем \(dx\). Например, \[ {d\left({{x^n}} \right) = n{x^{n - 1}}dx,}\;\; {d\left({\ln x} \right) = \frac{{dx}}{x},}\;\; {d\left({\sin x} \right) = \cos x dx} \] и так далее.

Инвариантность формы дифференциала

Рассмотрим композицию двух функций \(y = f\left(u \right)\) и \(u = g\left(x \right),\) т.е. сложную функцию \(y = f\left({g\left(x \right)} \right).\) Ее производная определяется выражением \[{y"_x} = {y"_u} \cdot {u"_x},\] где нижний индекс обозначает переменную, по которой производится дифференцирование.

Дифференциал "внешней" функции \(y = f\left(u \right)\) записывается в виде \ Дифференциал "внутренней" функции \(u = g\left(x \right)\) можно представить аналогичным образом: \ Если подставить \(du\) в предыдущую формулу, то получим \ Поскольку \({y"_x} = {y"_u} \cdot {u"_x},\) то \ Видно, что в случае сложной функции мы получили такое же по форме выражение для дифференциала функции, как и в случае "простой" функции. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала .

Приложение

Решение дифференциальных уравнений онлайн на сайт для закреплеения студентами пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Дифференциальные уравнения онлайн. Дифуры онлайн, решение математики в режиме онлайн. Пошаговое решение математических задач онлайн. Порядок, или степень дифференциального уравнения - наивысший порядок производных, входящих в него. Дифференциальные уравнения онлайн. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Дифференциальные уравнения онлайн. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных. Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Дифференциальные уравнения онлайн. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных - произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными. Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций - часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Дифференциальные уравнения онлайн. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т.д.. Множество перечисляемых чисел исследовать можно. Лучший ответ на поставленную задачу. Как найти в первом приближении исходящий вектор к области сходимости про Дифференциальные уравнения без выяснения найденного верхнего предела. Выбор очевиден для возрастания математических функций. Есть прогрессивный метод над уровнем исследования. Выровнять по начальному условию задачи решение дифференциальных поможет найти однозначное выбранное значение. Может быть так, что сможет неизвестную определить сразу. Как в предыдущем примере на указание решения для математической задачи, линейные дифференциальные уравнения есть ответ на поставленную конкретно задачу в указанные сроки. Локально не определено поддержание процедуры исследования. Будет так, что пример найдется для каждого студента и решение дифференциальных уравнений определит назначенный на ответственного исполнителя как минимум из двух значений. Взять на некотором отрезке функцию общего значения и предупредить по которой оси будет разрыв. Изучив дифференциальные уравнения онлайн, возможно однозначно показать на сколько важен результат, если таковой предусмотрен из начальных условий. Вырезать область из определения функции - это невозможно, так как локально нет определения по задаче. Будучи найденным из системы уравнений, ответ содержит в себе переменную, исчисляемую в общем смысле, но решить дифференциальное уравнение онлайн естественно получится без этого действия по определению сказанного условия. Рядом с промежутком отрезка видно как решение дифференциальных уравнений онлайн способно продвинуть результат исследований в положительную сторону на момент среза знаний у студентов. Лучшее не всегда получается путем общего принятого подхода к делу. На уровне двукратного увеличения можно с пользой просмотреть все необходимые линейные дифференциальные уравнения в естественном представлении, но возможность подсчитать числовое значение приведет к улучшению знаний. По любой методике в математике есть дифференциальные уравнения, которые представлены в различных по своей сути выражениях, такие как однородные или сложные. Проведя общий анализ исследования функции, станет ясно, что решение дифференциальных как множество возможностей представляет собой явную погрешность в значениях. Истинна в ней заключается в пространстве над линий абсцисс. Где-то в области определения сложной функции в некоторой точке её определения линейные дифференциальные уравнения смогут представить ответ в аналитическом виде. то есть в общем виде как суть. Не поменяется ничего при замене переменной. Однако нужно с особым интересом вглядываться в ответ. Меняет по сути калькулятор отношение в итоге, то есть как решение дифференциальных уравнений пропорционально глобальному значению обозначается в пределах искомого решения. В ряде случаев предупреждение о массовой ошибке неизбежно. Дифференциальные уравнения онлайн реализуют общее представление о задаче, но в итоге нужно как можно скорее предусмотреть положительные стороны векторного произведения. В математике не редки случаи заблуждения в теории чисел. Однозначно нужна будет проверка. Естественно лучше предоставить это право профессионалам в своем деле и решить дифференциальное уравнение онлайн помогут именно они, так как их опыт колоссальный и положительный. Разница на поверхностях фигур и площадь такова, что не решение дифференциальных уравнений онлайн позволит видеть, а множество не пересекаемых объектов таково, что линия параллельна оси. В итоге можно получить в два раза больше значений. Будучи не в явном виде, наше представление о правильности формально записи предусматривает линейные дифференциальные уравнения как в области просмотра, так и в отношении преднамеренного завышения качества результата. Несколько раз выходит в обзор решаемое на коллегии обсуждение на тему, интересную всем студентам. На протяжении всего изучения полного курса лекций, мы заострим наше пристальное внимание на дифференциальные уравнения и связные с ними области изучения науки, если тем самым не противоречить истине. Многих этапов можно избежать в начале пути. Если решение дифференциальных по-прежнему является принципиально чем-то новым для студентов, то старое вовсе не забывается, а прогрессирует в будущее с высокой скоростью развития. Изначально условия по задаче в математике расходятся, но это обозначено в абзаце справа. По истечению времени заданного по определению не исключены возможности пропорционального зависимого исхода на различных плоскостях движения вектора. Исправляется такой простой случай также как описываются линейные дифференциальные уравнения на калькуляторе в общем виде, так будет быстрее и взаимозачет расчетов не приведет к ошибочному мнению. Лишь пять названных по теории случаев могут раздвигать грани происходящего. Вручную рассчитать значение в цифрах поможет наше решение дифференциальных уравнений уже на первых этапах разложения функционального пространства. В нужных местах необходимо точку соприкосновения четырех линий представить в общем значении. Но если придется задачу вытеснить, то приравнять сложность будет просто. Исходных данных достаточно для оформления прилежащего катета и дифференциальные уравнения онлайн выглядят выровненными по левому краю и поверхность односторонняя направлена к ротору вектора. Выше верхнего предела возможны числовые значения сверх обозначенного условия. Принимать во внимание математическую формулу и решить дифференциальное уравнение онлайн за счет трех неизвестных в общем значении пропорции возможно. Локальный метод расчета признан действительным. Система координат прямоугольная в относительном движении плоскости. Общее решение дифференциальных уравнений онлайн позволяет однозначно сделать вывод в пользу расчетной прогонки сквозь матричные определения на всей прямой, расположенной выше графика заданной в явном виде функции. Решение насквозь проглядывается, если приложить вектор движения к точке соприкосновения трех полушарий. Цилиндр получается путем вращения прямоугольника вокруг стороны и линейные дифференциальные уравнения смогут показать направление движения точки по заданным выражениям её закона движения. Исходные данные верные и задача в математике взаимозаменяема при одном несложном условии. Однако в силу обстоятельств, в виду сложности постановочной подзадачи, дифференциальные уравнения упрощают процесс калькулировано числовых пространств на уровне трехмерного пространства. Легко доказать обратное, но этого возможно избежать, как в приведенном примере. В высшей математике предусмотрены следующие моменты: когда задача приводится к упрощенному виду, на неё следует распространить как можно большее усилие со стороны студентов. Взачет попадают наложенные друг на друга линии. Про решение дифференциальных по-прежнему возобновляет преимущество сказанного метода на кривой линии. Если распознать вначале не то, что нужно, то математическая формула составит новое значение выражения. Цель - оптимальный подход к решению поставленных профессором задания. Не стоит полагать, что линейные дифференциальные уравнения в упрощенном виде превзойдут ожидаемый результат. На конечно составленной поверхности разместим три вектора. ортогональные друг другу. Вычислим произведение. Проведем сложение большего числа символов и распишем из полученного выражения все переменные функции. Есть пропорция. Несколько действий, предшествующих окончанию вычисления, однозначного ответа на решение дифференциальных уравнений дадут не сразу, а только по истечению отведенного времени по оси ординат. Слева от точки разрыва, заданной в неявном виде от функции, проведем ось, ортогональную лучшему возрастающему вектору и дифференциальные уравнения онлайн расположим вдоль наименьшего граничного значения нижней грани математического объекта. Лишний аргумент присоединим в области разрыва функции. Правее от точек расположения кривой линии решить дифференциальное уравнение онлайн помогут написанные нами формулы приведения к общему знаменателю. Единственно верным подходом примем тот, что прольет свет на нерешенные задачи из теории в практику, в общем случае однозначно. Линии по направлению координат заданных точек ни разу не сомкнули крайнее положение квадрата, однако решение дифференциальных уравнений онлайн поможет в изучении математики и студентам, и нам, и просто начинающим людям в этой области. Речь идет о возможности подстановки аргумента значения во все значимые под линии одного поля. В принципе, как и следовало ожидать, наши линейные дифференциальные уравнения есть нечто обособленное в единое понятие приведенного смысла. В помощь студентам один из лучших среди аналогичных сервисов калькулятор. Пройдите все курсы и выберите оптимальный правильный для себя.

=

Являясь неразрывно связанными между собой, оба они уже несколько столетий активно используются при решении практически всех задач, которые возникали в процессе научно-технической деятельности человека.

Возникновение понятия о дифференциале

Впервые разъяснил, что такое дифференциал, один из создателей (наряду с Исааком Ньютоном) дифференциального исчисления знаменитый немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. До этого математиками 17 ст. использовалось весьма нечеткое и расплывчатое представление о некоторой бесконечно малой «неделимой» части любой известной функции, представлявшей очень малую постоянную величину, но не равную нулю, меньше которой значения функции быть просто не могут. Отсюда был всего один шаг до введения представления о бесконечно малых приращениях аргументов функций и соответствующих им приращениях самих функций, выражаемых через производные последних. И этот шаг был сделан практически одновременно двумя вышеупомянутыми великими учеными.

Исходя из необходимости решения насущных практических задач механики, которые ставила перед наукой бурно развивающаяся промышленность и техника, Ньютон и Лейбниц создали общие способы нахождения скорости изменения функций (прежде всего применительно к механической скорости движения тела по известной траектории), что привело к введению таких понятий, как производная и дифференциал функции, а также нашли алгоритм решения обратной задачи, как по известной (переменной) скорости найти пройденный путь, что привело к появлению понятия интеграла.

В трудах Лейбница и Ньютона впервые появилось представление о том, что дифференциалы - это пропорциональные приращениям аргументов Δх основные части приращений функций Δу, которые могут быть с успехом применены для вычисления значений последних. Иначе говоря, ими было открыто, что приращение функции может быть в любой точке (внутри области ее определения) выражено через ее производную как Δу = y"(x) Δх + αΔх, где α Δх - остаточный член, стремящийся к нулю при Δх→0, гораздо быстрее, чем само Δх.

Согласно основоположникам матанализа, дифференциалы - это как раз и есть первые члены в выражениях приращений любых функций. Еще не обладая четко сформулированным понятием предела последовательностей, они интуитивно поняли, что величина дифференциала стремится к производной функции при Δх→0 - Δу/Δх→ y"(x).

В отличие от Ньютона, который был прежде всего физиком, и рассматривал математический аппарат как вспомогательный инструмент исследования физических задач, Лейбниц уделял большее внимание самому этому инструментарию, включая и систему наглядных и понятных обозначений математических величин. Именно он предложил общепринятые обозначения дифференциалов функции dy = y"(x)dx, аргумента dx и производной функции в виде их отношения y"(x) = dy/dx.

Современное определение

Что такое дифференциал с точки зрения современной математики? Он тесно связан с понятием приращения переменной величины. Если переменная y принимает сначала значение y = y 1 , а затем y = y 2 , то разность y 2 ─ y 1 называется приращением величины y.

Приращение может быть положительным. отрицательным и равным нулю. Слово «приращение» обозначается Δ, запись Δу (читается «дельта игрек») обозначает приращение величины y. так что Δу = y 2 ─ y 1 .

Если величину Δу произвольной функции y = f (x) возможно представить в виде Δу = A Δх + α, где у A нет зависимости от Δх, т. е. A = const при данном х, а слагаемое α при Δх→0 стремится к нему же еще быстрее, чем само Δх, тогда первый («главный») член, пропорциональный Δх, и является для y = f (x) дифференциалом, обозначаемымdy или df(x) (читается «дэ игрек», «дэ эф от икс»). Поэтому дифференциалы - это «главные» линейные относительно Δх составляющие приращений функций.

Механическое истолкование

Пусть s = f (t) - расстояние прямолинейно движущейся от начального положения (t - время пребывания в пути). Приращение Δs - это путь точки за интервал времени Δt, а дифференциал ds = f" (t) Δt - это путь, который точка прошла бы за то же время Δt, если бы она сохранила скорость f"(t), достигнутую к моменту t. При бесконечно малом Δt воображаемый путь ds отличается от истинного Δs на бесконечно малую величину, имеющую высший порядок относительно Δt. Если скорость в момент t не равна нулю, то ds дает приближенную величину малого смещения точки.

Геометрическая интерпретация

Пусть линия L является графиком y = f (x). Тогда Δ х= MQ, Δу = QM" (см. рисунок ниже). Касательная MN разбивает отрезок Δу на две части, QN и NM". Первая пропорциональна Δх и равна QN = MQ∙tg (угла QMN) = Δх f "(x), т. е QN есть дифференциал dy.

Вторая часть NM"дает разность Δу ─ dy, при Δх→0 длина NM" уменьшается еще быстрее, чем приращение аргумента, т.е у нее порядок малости выше, чем у Δх. В рассматриваемом случае, при f "(x) ≠ 0 (касательная не параллельна ОХ), отрезки QM"и QN эквивалентны; иными словами NM" уменьшается быстрее (порядок малости ее выше), чем полное приращение Δу = QM". Это видно на рисунке (с приближением M"к М отрезок NM"составляет все меньший процент отрезка QM").

Итак, графически дифференциал произвольной функции равен величине приращения ординаты ее касательной.

Производная и дифференциал

Коэффициент A в первом слагаемом выражения приращения функции равен величине ее производной f "(x). Таким образом, имеет место следующее соотношение - dy = f "(x)Δх, или же df (x) = f "(x)Δх.

Известно, что приращение независимого аргумента равно его дифференциалу Δх = dx. Соответственно, можно написать: f "(x) dx = dy.

Нахождение (иногда говорят, «решение») дифференциалов выполняется по тем же правилам, что и для производных. Перечень их приведен ниже.

Что более универсально: приращение аргумента или его дифференциал

Здесь необходимо сделать некоторые пояснения. Представление величиной f "(x)Δх дифференциала возможно при рассмотрении х в качестве аргумента. Но функция может быть сложной, в которой х может быть функцией некоторого аргумента t. Тогда представление дифференциала выражением f "(x)Δх, как правило, невозможно; кроме случая линейной зависимости х = at + b.

Что же касается формулы f "(x)dx= dy, то и в случае независимого аргумента х (тогда dx = Δх), и в случае параметрической зависимости х от t, она представляет дифференциал.

Например, выражение 2 x Δх представляет для y = x 2 ее дифференциал, когда х есть аргумент. Положим теперь х= t 2 и будем считать t аргументом. Тогда y = x 2 = t 4 .

Это выражение не пропорционально Δt и потому теперь 2xΔх не является дифференциалом. Его можно найти из уравнения y = x 2 = t 4 . Он оказывается равен dy=4t 3 Δt.

Если же взять выражение 2xdx, то оно представляет дифференциал y = x 2 при любом аргументе t. Действительно, при х= t 2 получим dx = 2tΔt.

Значит 2xdx = 2t 2 2tΔt = 4t 3 Δt, т. е. выражения дифференциалов, записанные через две разные переменные, совпали.

Замена приращений дифференциалами

Если f "(x) ≠ 0, то Δу и dy эквивалентны (при Δх→0); при f "(x) = 0 (что означает и dy = 0), они не эквивалентны.

Например, если y = x 2 , то Δу = (x + Δх) 2 ─ x 2 = 2xΔх + Δх 2 , а dy=2xΔх. Если х=3, то имеем Δу = 6Δх + Δх 2 и dy = 6Δх, которые эквивалентны вследствие Δх 2 →0, при х=0 величины Δу = Δх 2 и dy=0 не эквивалентны.

Этот факт, вместе с простой структурой дифференциала (т. е. линейности по отношению к Δх), часто используется в приближенных вычислениях, в предположении, что Δу ≈ dy для малых Δх. Найти дифференциал функции, как правило, легче, чем вычислить точное значение приращения.

Например, имеем металлический куб с ребром х=10,00 см. При нагревании ребро удлинилось на Δх = 0,001 см. Насколько увеличился объем V куба? Имеем V = х 2 , так что dV = 3x 2 Δх = 3∙10 2 ∙0/01 = 3 (см 3). Увеличение объема ΔV эквивалентно дифференциалу dV, так что ΔV = 3 см 3 . Полное вычисление дало бы ΔV =10,01 3 ─ 10 3 = 3,003001. Но в этом результате все цифры, кроме первой ненадежны; значит, все равно, нужно округлить его до 3 см 3 .

Очевидно, что такой подход является полезным, только если возможно оценить величину привносимой при этом ошибки.

Дифференциал функции: примеры

Попробуем найти дифференциал функции y = x 3 , не находя производной. Дадим аргументу приращение и определим Δу.

Δу = (Δх + x) 3 ─ x 3 = 3x 2 Δх + (3xΔх 2 + Δх 3).

Здесь коэффициент A= 3x 2 не зависит от Δх, так что первый член пропорционален Δх, другой же член 3xΔх 2 + Δх 3 при Δх→0 уменьшается быстрее, чем приращение аргумента. Стало быть, член 3x 2 Δх есть дифференциал y = x 3:

dy=3x 2 Δх=3x 2 dx или же d(x 3) = 3x 2 dx.

При этом d(x 3) / dx = 3x 2 .

Найдем теперь dy функции y = 1/x через ее производную. Тогда d(1/x) / dx = ─1/х 2 . Поэтому dy = ─ Δх/х 2 .

Дифференциалы основных алгебраических функций приведены ниже.

Приближенные вычисления с применением дифференциала

Вычислить функцию f (x), а также ее производную f "(x) при x=a часто нетрудно, а вот сделать то же самое в окрестности точки x=a бывает нелегко. Тогда на помощь приходит приближенное выражение

f(a + Δх) ≈ f "(a)Δх + f(a).

Оно дает приближенное значение функции при малых приращениях Δх через ее дифференциал f "(a)Δх.

Следовательно, данная формула дает приближенное выражение для функции в конечной точке некоторого участка длиной Δх в виде суммы ее значения в начальной точке этого участка (x=a) и дифференциала в той же начальной точке. Погрешность такого способа определения значения функции иллюстрирует рисунок ниже.

Однако известно и точное выражение значения функции для x=a+Δх, даваемое формулой конечных приращений (или, иначе, формулой Лагранжа)

f(a+ Δх) ≈ f "(ξ) Δх + f(a),

где точка x = a+ ξ находится на отрезке от x = a до x = a + Δх, хотя точное положение ее неизвестно. Точная формула позволяет оценивать погрешность приближенной формулы. Если же в формуле Лагранжа положить ξ = Δх /2, то хотя она и перестает быть точной, но дает, как правило, гораздо лучшее приближение, чем исходное выражение через дифференциал.

Оценка погрешности формул при помощи применения дифференциала

В принципе неточны, и привносят в данные измерений, соответствующие ошибки. Их характеризуют предельной или, короче, предельной погрешностью - положительным числом, заведомо превышающим эту ошибку по абсолютной величине (или в крайнем случае равным ей). Предельной называют частное от ее деления на абсолютное значение измеренной величины.

Пусть точная формула y= f (x) использована для вычисляения функции y, но значение x есть результат измерения и поэтому привносит в y ошибку. Тогда, чтобы найти предельную абсолютную погрешность │‌‌Δу│функции y, используют формулу

│‌‌Δу│≈│‌‌dy│=│ f "(x)││Δх│,

где │Δх│является предельной погрешностью аргумента. Величину │‌‌Δу│ следует округлить в сторону увеличения, т.к. неточной является сама замена вычисления приращения на вычисление дифференциала.

Дифференциал… Для одних это прекрасное далёкое, а для других – непонятное слово, связанное с математикой. Но если это ваше суровое настоящее, наша статья поможет узнать, как правильно “приготовить” дифференциал и с чем его “подавать”.

Под дифференциалом в математике понимают линейную часть приращения функции. Понятие дифференциала неразрывно связано с записью производной согласно Лейбница f′(x 0) = df/dx·x 0 . Исходя из этого, дифференциал первого порядка для функции f, заданной на множестве X, имеет такой вид: d x0 f = f′(x 0)·d x0 x. Как видите, для получения дифференциала нужно уметь свободно находить производные. Поэтому нелишним будет повторить правила вычисления производных, дабы понимать, что будет происходить в дальнейшем. Итак, рассмотрим дифференцирование поближе на примерах. Нужно найти дифференциал функции, заданной в таком виде: y = x 3 -x 4 . Сначала найдём производную от функции: y′= (x 3 -x 4)′ = (x 3)′-(x 4)′ = 3x 2 -4x 3 . Ну, а теперь получить дифференциал проще простого: df = (3x 3 -4x 3)·dx. Сейчас мы получили дифференциал в виде формулы, на практике зачастую также интересует цифровое значение дифференциала при заданных конкретных параметрах х и ∆х. Бывают случаи, когда функция выражена неявно через х. Например, y = x²-y x . Производная функции имеет такой вид: 2x-(y x)′. Но как получить (y x)′? Такая функция называется сложной и дифференцируется согласно соответствующего правила: df/dx = df/dy·dy/dx. В данном случае: df/dy = x·y x-1 , а dy/dx = y′. Теперь собираем всё воедино: y′ = 2x-(x·y x-1 ·y′). Группируем все игреки в одной стороне: (1+x·y x-1)·y′ = 2x, и в итоге получаем: y′ = 2x/(1+x·y x-1) = dy/dx. Исходя из этого, dy = 2x·dx/(1+x·y x-1). Конечно, хорошо, что такие задания встречаются нечасто. Но теперь вы готовы и к ним. Кроме рассмотренных дифференциалов первого порядка, ещё существуют дифференциалы высшего порядка. Попробуем найти дифференциал для функции d/d (x 3 )· (x 3 – 2 x 6 – x 9 ), который и будет дифференциалом второго порядка для f(x) . Исходя из формулы f′(u) = d/du·f(u), где u = f(x), примем u = x 3 . Получаем: d/d(u)·(u-2u 2 -u 3) = (u-2u 2 -u 3)′ = 1-4u-3u 2 . Возвращаем замену и получаем ответ – 1– x 3 – x 6 , x≠0. Помощником в нахождении дифференциала также может стать онлайн-сервис . Естественно, что на контрольной или экзамене им не воспользуешься. Но при самостоятельной проверке правильности решения его роль сложно переоценить. Кроме самого результата, он также показывает промежуточные решения, графики и неопределённый интеграл дифференциальной функции, а также корни дифференциального уравнения. Единственный недостаток – это запись в одну строку функции при вводе, но со временем можно привыкнуть и к этому. Ну, и естественно, такой сервис не справляется со сложными функциями, но всё, что попроще, ему по зубам. Практическое применение дифференциал находит в первую очередь в физике и экономике. Так, в физике зачастую дифференцированием решаются задачи, связанные с определением скорости и её производной – ускорения. А в экономике дифференциал является неотъемлемой частью расчёта эффективности деятельности предприятия и фискальной политики государства, например, эффекта финансового рычага.

В этой статье рассмотрены типовые задачи дифференцирования. Курс высшей математики учащихся ВУЗов зачастую содержит ещё задания на использование дифференциала в приближенных вычислениях, а также поиск решений дифференциальных уравнений. Но главное – при чётком понимании азов вы с лёгкостью расправитесь со всеми новыми задачами.

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором свзяны между собой переменные, постоянные коэффициенты, искомая функция и производные от функции любого порядка. При этом максимальный порядок производной функции, который присутствует в уравнении, определяет порядок всего дифференциального уравнения. Решить диф уравнение - это определить искомую функцию, как зависимость от переменной.

Современные компьютеры позволяют решать сложнейшие диф уравнения численно. Нахождение же аналитического решения является сложной задачей. Существует множество типов уравнений и для каждого теория предлагает свои методы решения. На сайте сайт диф уравнения можно вычислять в режиме онлайн, причём практически любого типа и порядка: линейные дифференциальные уравнения, с разделяемыми или неразделяемыми переменными, уравнения Бернулли и т.д. При этом у вас есть возможность решать уравнения в общем виде или получить частное решение соответствующее введенным вами начальным (граничным) условиям. Мы предлагаем для решения заполнить два поля: само собственно уравнение и при необходимости - начальные условия (задачу Коши) - то есть информацию о граничных условиях искомой функции. Ведь как известно, диф уравнения имеют бесконечное количество решений, поскольку в ответе присутствуют константы, которые могут принимать произвольное значение. Задав задачу Коши, мы из всего множества решений выбираем частные.

Данный онлайн калькулятор разработан компанией WolframAlpha и позволяет решать как стандартные дифференциальные уравнения, так и уравнения, не имеющие стандартного подхода для решения.